分散の求め方｜公式・計算例・母分散と標本分散の違い

1. 分散の求め方を4ステップで確認

分散を計算するときは、いきなり二乗するのではなく、まずデータの中心である平均を出します。その後、各データが平均からどれだけ離れているかをそろえて比較します。

最後にどちらで割るかが、分散の計算で最も迷いやすい部分です。データが調べたい全体そのものか、一部を抜き出した標本かを先に決めると間違いにくくなります。

2. 分散とは何か

分散は、データが平均の周りにどの程度ばらついているかを表す指標です。平均が同じ2つのデータセットでも、値が平均の近くに集まっているか、大きく離れているかで分散は変わります。

各データから平均を引くだけだと、プラスとマイナスが打ち消し合います。そこで偏差を二乗し、すべてを正の値にしてから平均を取ります。この「偏差の二乗の平均」が分散です。

3. 母分散・標本分散の公式

分散には、データ全体を扱う場合と、標本から全体を推定する場合があります。式の違いは分母です。

μ は母平均、x̄ は標本平均です。学校の問題で「与えられたデータ全体の分散」を求めるなら母分散として扱うことが多く、統計調査で標本から推定するなら標本分散を使います。

4. 具体例：2・4・6・8の分散を求める

データを 2, 4, 6, 8 とします。まず平均を求めると、(2 + 4 + 6 + 8) ÷ 4 = 5 です。

このように、偏差平方和までは同じでも、母分散か標本分散かで答えが変わります。問題文の「全体」「標本」「推定」といった言葉を確認してください。

5. 母分散と標本分散の使い分け

母分散は、手元にあるデータが調べたい対象の全体である場合に使います。たとえば、あるクラス全員のテスト点数をそのクラス内だけで比較するなら、その点数データを母集団として扱えます。

一方、標本分散は、全員を調べられないため一部のデータから全体のばらつきを推定するときに使います。標本平均を使うと偏差が小さめに出やすいため、分母を n - 1 にして補正します。これを不偏分散と呼ぶこともあります。

6. ExcelのVAR.P・VAR.Sで計算する

Excelでセル範囲の分散を計算する場合は、母集団か標本かに応じて関数を選びます。先ほどの 2, 4, 6, 8 をA2:A5に入力した例では、次のようになります。

Microsoftの公式説明でも、VAR.P は母集団、VAR.S は標本を前提としています。関数名だけで決めず、元データが全体か標本かを確認してください。入力値をブラウザで確認したい場合は 標準偏差計算機、Excel関数の一覧を見たい場合は Excel関数計算 が使えます。

7. 分散と標準偏差の違い

標準偏差は、分散の平方根です。分散は偏差を二乗するため、元データと単位が異なります。たとえば元データが「点」なら、分散は「点の二乗」に相当します。

そのため、ばらつきを元データと同じ単位で読み取りたいときは標準偏差が便利です。分散は計算式や統計モデルの中間値として使われ、標準偏差は結果を直感的に説明するときによく使われます。両方を確認したいときは 標準偏差計算機で途中式まで照合できます。

8. 分散の求め方に関するFAQ

まとめ

分散の求め方は、平均、偏差、偏差の二乗、分母の選択という順番で考えると整理できます。全体のデータなら母分散として n で割り、標本から全体を推定するなら標本分散として n - 1 で割ります。

計算結果をすぐに確かめたい場合は 標準偏差計算機を使い、平均や中央値も合わせて確認したい場合は 平均・中央値・最頻値計算機を利用してください。