因数分解のやり方｜公式4つ・見分け方・例題
因数分解のやり方は、いきなり数字の組み合わせを探すのではなく、①共通因数をくくる、②公式に当てはめる、③二次式の組み合わせを探す、の順で見ると整理できます。この記事では、よく使う4つの型を例題で確認し、最後に因数分解計算機で答え合わせする方法まで紹介します。
1. 因数分解とは？
因数分解とは、足し算や引き算で表された式を、いくつかの式の積に書き直すことです。例えば、x² + 5x + 6 は (x + 2)(x + 3) と表せます。展開して確認すると、x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 となるため、元の式と同じです。
形を変えるだけに見えますが、因数分解には「共通するものを見つける」「公式に当てはめる」「積が決まる組を探す」という数学的な見通しがあります。二次方程式を解くときや、式の値を簡単にするときにも役立ちます。
2. まず覚える因数分解の公式4つ
中学数学で特によく使う型は、次の4つです。問題を見たら、最初に「どの型に近いか」を探します。
| 型 | 公式・考え方 | 見つける目印 |
|---|---|---|
| 共通因数 | ka + kb = k(a + b) | 全ての項に同じ数や文字がある |
| 平方差 | a² - b² = (a + b)(a - b) | 2つの平方の差になっている |
| 完全平方 | a² ± 2ab + b² = (a ± b)² | 最初と最後が平方で、中央が2倍の積 |
| 二次式 | x² + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q) | 定数項の積とxの係数の和を探す |
3. 共通因数をくくる
最初に必ず確認したいのが、全ての項に共通する因数です。共通因数を先に外すと、残った式に平方差や完全平方の公式を使えることがあります。
例：6x² + 9x
6と9の最大公約数は3で、2つの項にはxも共通しています。
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
共通因数をくくるときは、数字だけでなく文字も確認します。例えば 4a²b + 8ab² なら、共通因数は 4ab です。残りが a + 2b になるので、答えは 4ab(a + 2b) となります。
4. 平方差の公式を使う
2つの平方を引いた形は、平方差の公式を使えます。中央に項がないことがポイントです。
a² - b² = (a + b)(a - b)
例：x² - 25
25 = 5² なので、x² - 25 は x² - 5² と書けます。
x² - 25 = (x + 5)(x - 5)
符号を間違えやすいところですが、展開すると (x + 5)(x - 5) = x² - 25 です。平方差では、片方がプラス、もう片方がマイナスになります。
5. 完全平方の公式を使う
3項の式で、最初と最後が平方、中央がその2倍の積になっていれば完全平方です。
a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² - 2ab + b² = (a - b)²
例：x² - 6x + 9
x² と 9 = 3² が平方で、中央の -6x は -2 × x × 3 です。
x² - 6x + 9 = (x - 3)²
6. 二次式の因数分解：積と和を探す
x² + bx + c の形で、共通因数や他の公式が見つからないときは、積と和の組み合わせを探します。積が定数項 c、和がxの係数 b になる2つの数を考える方法です。
例1：x² + 5x + 6
- 積が6になる組は
1と6、2と3。 - 和が5になるのは
2と3。 - したがって
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)。
例2：2x² + 7x + 3
最初の係数が2なので、(2x + 1)(x + 3) を展開して確認します。
(2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3
係数が1ではない二次式では、候補を見つけたら必ず展開して確認してください。積と和だけで判断すると、係数の掛け忘れや順番のミスが起きやすいためです。
手順を自分で解いた後は、因数分解計算機に係数を入力して、結果と途中式を照合できます。計算機は答え合わせに使い、公式を選ぶところは自分で考えると理解が定着します。
7. 因数分解の見分け方とよくあるミス
| つまずき | 確認すること |
|---|---|
| 共通因数を見落とす | 数字だけでなく、全ての項に共通する文字も探す。 |
| 平方差の符号を間違える | 2つの括弧は、片方がプラス、片方がマイナスになる。 |
| 完全平方と決めつける | 中央の項が、最初と最後の平方根の2倍の積か確認する。 |
| 答えを展開しない | 最後に分配法則で戻し、元の式と一致するか確かめる。 |
迷ったときの順番は「共通因数 → 平方差 → 完全平方 → 二次式」です。どれにも当てはまらない場合は、無理に公式を当てはめず、因数分解できる範囲や整数係数という条件を確認しましょう。
因数分解と二次方程式の関係を確認したい場合は、方程式計算ツールで解の公式による結果と比べるのも有効です。
8. 因数分解のFAQ
まとめ
因数分解のやり方は、公式を丸暗記するだけでなく、式の形を見分けることが大切です。まず共通因数を探し、次に平方差・完全平方・二次式の順で確認し、最後に展開して答えを検算します。
例題を自分で解いた後、因数分解計算機で途中式を確認すると、どこで符号や係数を間違えたかを振り返りやすくなります。